Два графика на координатной плоскости, если они не параллельны, обязательно пересекаются в какой-либо точке. И нередко в алгебраических задачах такого типа требуется найти координаты данной точки. Поэтому знание инструкций по ее нахождению принесет большую пользу как школьникам, так и студентам.
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ - это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
Пример 1 |
Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций. |
Решение |
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую: $$ 2x - x = 3+5 $$ Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Итак, $ M (8;11) $ - является точкой пересечения графиков двух линейных функций. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ M (8;11) $$ |
Пример 3 |
Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $ |
Решение |
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - точка пересечения графиков функций |
Ответ |
$$ M (0;1) $$ |
Всякий определенный график задается соответствующей функцией. Процесс нахождение точки (нескольких точек) пересечения 2-х графиков сводится к решению уравнения вида f1(x)=f2(x), решение которого и будет являться желанной точкой.
Вам понадобится
1. Еще из школьного курса математики ученикам становится вестимо, что число допустимых точек пересечения 2-х графиков напрямую зависит от вида функций. Так, скажем, линейные функции будут иметь только одну точку пересечения , линейная и квадратная – две, квадратные – две либо четыре, и т.д.
2. Разглядим всеобщий случай с двумя линейными функциями (см. рис.1). Пускай y1=k1x+b1, а y2=k2x+b2. Дабы обнаружить точку их пересечения нужно решить уравнение y1=y2 либо k1x+b1=k2x+b2.Преобразовав равенство, вы получите: k1x-k2x=b2-b1.Выразите x дальнейшим образом:x=(b2-b1)/(k1-k2).
3. Позже нахождения значения х – координаты точки пересечения 2-х графиков по оси абсцисс (ось 0Х), остается вычислить координату по оси ординат (ось 0У). Для этого нужно подставить в всякую из функций, полученное значение х.Таким образом, точка пересечения у1 и у2 будет иметь следующие координаты: ((b2-b1)/(k1-k2);k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2).
4. Проанализируйте пример расчета нахождения точки пересечения 2-х графиков (см. рис.2).Нужно обнаружить точку пересечения графиков функций f1 (x)=0,5x^2 и f2 (x)=0,6x+1,2.Приравняв f1 (x) и f2 (x), получите следующее равенство:0,5x^ =0,6x+1,2. Перенеся все слагаемые в левую часть, получите квадратное уравнение вида:0,5x^2 -0,6x-1,2=0.Решением этого уравнения будут два значения х: x1?2,26,x2?-1,06.
5. Подставьте значения х1 и х2 в всякое из выражений функций. Скажем, и f_2 (x1)=0,6 2,26+1,2=2,55, f_2 (x2)=0,6 (-1,06)+1,2=0,56.Выходит, желанными точками являются: т.А (2,26;2,55) и т.В (-1,06;0,56).
График функции y = f (х) – это уйма всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика традиционно выбирается несколько значений довода х и для них вычисляются соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика благотворно обнаружить его точки пересечения с осями координат.
1. Дабы обнаружить точку пересечения графика функции с осью y, нужно вычислить значение функции при х=0, т.е. обнаружить f(0). Для примера воспользуемся графиком линейной функции, изображенной на рис.1. Ее значение при х=0 (y=a*0+b) равно b, следственно, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b).
2. При пересечении оси абсцисс (оси Х) значение функции равно 0, т.е. y=f(x)=0. Для вычисления х нужно решить уравнение f(x)=0. В случае линейной функции получаем уравнение ax+b=0, откуда и находим x=-b/a.Таким образом, ось Х пересекается в точке (-b/a,0).
3. В больше трудных случаях, скажем, в случае квадратичной зависимости y от х, уравнение f(x)=0 имеет два корня, следственно, ось абсцисс пересекается двукратно. В случае периодической зависимости y от х, скажем y=sin(x), ее график имеет безмерное число точек пересечения с осью Х.Для проверки правильности нахождения координат точек пересечения графика функции с осью Х нужно подставить обнаруженные значения х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.
Раньше чем приступить к изысканию поведения функции, нужно определить область метаморфозы рассматриваемых величин. Примем допущение, что переменные относятся к множеству действительных чисел.
1. Функция – это переменная величина, зависящая от значения довода. Довод – переменная самостоятельная. Пределы изменений довода именуются областью возможных значений (ОДЗ). Поведение функции рассматривается в рамках ОДЗ потому, что в этих пределах связанность между двумя переменными не хаотическая, а подчиняется определенным правилам и может быть записана в виде математического выражения.
2. Разглядим произвольную функциональную связанность F=?(x), где? – математическое выражение. Функция может иметь точки пересечения с осями координат либо с другими функциями.
3. В точках пересечения функции с осью абсцисс функция становится равной нулю:F(x)=0.Решите это уравнение. Вы получите координаты точек пересечения заданной функции с осью ОХ. Таких точек будет столько, сколько найдется корней уравнения на заданном участке метаморфозы довода.
4. В точках пересечения функции с осью ординат значение довода равно нулю. Следственно, задача превращается в нахождение значения функции при х=0. Точек пересечения функции с осью OY будет столько, сколько найдется значений заданной функции при нулевом доводе.
5. Для нахождения точек пересечения заданной функции с иной функцией нужно решить систему уравнений:F=?(x)W=?(x).Тут?(x) - выражение, описывающее заданную функцию F, ?(x) - выражение, описывающее функцию W, точки пересечения с которой заданной функции необходимо обнаружить. Видимо, что в точках пересечения обе функции принимают равные значения при равных значениях доводов. Всеобщих точек у 2-х функций будет столько, сколько решений у системы уравнений на заданном участке изменений довода.
Видео по теме
В точках пересечения функции имеют равные значения при идентичном значении довода. Обнаружить точки пересечения функций - значит определить координаты всеобщих для пересекающихся функций точек.
1. В всеобщем виде задача нахождения точек пересечения функций одного довода Y=F(x) и Y?=F?(x) на плоскости XOY сводится к решению уравнения Y= Y?, от того что в всеобщей точке функции имеют равные значения. Значения х, удовлетворяющие равенству F(x)=F?(x), (если они существуют) являются абсциссами точек пересечения заданных функций.
2. Если функции заданы несложным математическим выражением и зависят от одного довода х, то задачу нахождения точек пересечения дозволено решить графически. Постройте графики функций. Определите точки пересечения с осями координат (х=0, y=0). Задайте еще несколько значений довода, обнаружьте соответствующие значения функций, добавьте полученные точки на графики. Чем огромнее точек будет использовано для построения, тем вернее будет график.
3. Если графики функций пересекутся, определите по чертежу координаты точек пересечения. Для проверки подставьте эти координаты в формулы, которыми заданы функции. Если математические выражения окажутся объективными, точки пересечения обнаружены положительно. Если графики функций не пересекаются, испробуйте изменить масштаб. Сделайте шаг между точками построения огромнее, дабы определить, на каком участке числовой плоскости линии графиков сближаются. После этого на выявленном участке пересечения постройте больше подробнейший график с мелким шагом для точного определения координат точек пересечения.
4. Если необходимо обнаружить точки пересечения функций не на плоскости, а в трехмерном пространстве, доводится разглядеть функции 2-х переменных: Z=F(x,y) и Z?=F?(x,y). Для определения координат точек пересечения функций надобно решить систему уравнений с двумя незнакомыми х и y при Z= Z?.
Видео по теме
Могучий Diablo гордо восседал на троне, заботливо построенном миллионами преданных геймеров. Трон возвышался посреди озера пота, пролитого во время баталий на клавиатуре, незыблемо стоя на сваях восторженности и поклонения. Но ничто не бывает вечным в это
Независимо от того, предприниматель вы или частное лицо, скорее всего, вам уже приходилось сталкиваться с услугами транспортных компаний. Интернет-торговля набирает все большие обороты, что добавляет работы фирмам-представителям данной сферы. Как известно
Для отслеживания посылки необходимо сделать несколько простых шагов. 1. Перейдите на главную страницу 2. Введите трек-код в поле, с заголовком " Отследить почтовое отправление" 3. Нажмите на кнопку "Отследить посылку", расположенную справа от поля. 4
Относительно новый вид проведения досуга - квесты в реальности в Минске - основательно внедрились в сферу развлечений. Многие уже имеют солидный опыт в их прохождении, но много людей даже никогда не бывали в квеструмах. Конечно, лучше один раз увидеть (в
Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Вопросы о том, как заработать деньги сидя дома (работая в интернете) или даже занимаясь определенным видом деятельности оффлайн, задаются в сети достаточно часто.В этой статье мы рассмотрим четыре основных спос
Это официальная инструкция для LG K10 LTE K430DS на русском языке, которая подходит под Android 6.0. В случае, если Вы обновили свой смартфон LG до более "свежей" версии или "откатились" до более ранней, то Вам стоит попробовать другие подробные инструкц